viernes, 23 de mayo de 2008

los numeros racionales y su importancia

INDICE

4. Números racionales
5. Propiedades de los números racionales y tipos de números racionales
6. Expresión decimal de una fracción
7. Calculo de la fracción generatriz de un numero decimal
8. Suma y resta de números decimales
9. Multiplicación y división de números racionales
10. El número racional
11. Ordenación en los números racionales
12. Representación grafica de los números racionales y suma de fracciones
13. Resta de fracciones productos y división de fracciones
14. Operaciones combinadas con números racionales














INTRODUCCIÓN
En la presente investigación conoceremos y aprenderemos sobre la gran importancia que tienen los números racionales y sus distintas aplicaciones en el gran y maravilloso mundo de las matemáticas, como por ejemplo: en la adición, sustracción, multiplicación, división y sus respectivas propiedades. Para poder adentrarnos en el tema de los Números Racionales, es necesario, y quizás lo más fundamental, saber que significa Números racionales El conjunto Q de los números racionales está formado por todos los números en los cuales el numerador a es un numero entero y el denominador b es un numero distinto de cero.


















Números Racionales
Su símbolo es Q. es el conjunto de los números que comprende los enteros y los fraccionarios. Los números racionales se pueden expresar como cocientes exactos o bien como decimales periódicos, ejemplo son racionales: 1/3= (0,333….) y ¼ (=0,25) la raíz cuadrada de 2 (=1,4142136...)No es racional
Hemos visualizado que en el conjunto N de los números naturales se puede sumar y multiplicar; que en el conjunto Z de los números enteros se puede sumar, restar y multiplicar. Vamos a ver ahora un nuevo conjunto Q, ampliación de los anteriores, de manera donde se pueda realizar las cuatro operaciones básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir. Dicho conjunto Q será el de las fracciones positivas o negativas o números racionales.


Ejemplo: para repartir una cierta cantidad en partes iguales tenemos que emplear números racionales.









Propiedades
De los Números Racionales.

1. Si dos términos de una fracción se multiplican por un mismo número entero, la fracción resultante equivalente a la primera y representa, por lo tanto, el mismo número racional.

Consecuencia: siempre es posible representar un numero racional por una fracción de denominador positivo, ya que si este fuera negativo, bastaría con multiplicar por -1 los dos términos de la fracción.
2. si los dos términos de una fracción tienen un divisor común y se dividen por el, la fracción resultante es equivalente a la primera:

Consecuencias: un número racional puede representarse por una fracción cuyos dos términos son primos entre sí (basta con dividirlos por su máximo común divisor). Una fracción de estas características se llama irreducible y se toma como representante canónico del número racional:
Es decir, el par (3, 2) es el representante canónico de la clase.

Tipos
De Números Racionales

Un número racional se llama positivo cuando su representante canónicos un par de números enteros del mismo signo. Por ejemplo, la clase [(1, 2)], (3, 6), (-2, -4), (-1, 2),…] es el numero racional positivo ½. Cuando el representante canónico es el par de números enteros de distintos signo, el número racional correspondiente se dice negativo. Por ejemplo, - es el numero racional correspondientes a la clase [(-2, 3). (-4,6), (4-6- ) -6963
Cada unos de los números racionales de la forma es decir, cada una de las clases de representarte canónico del tipo (x, 1), se identifica con los números entero x .así, por ejemplo, la clase [(2,1), (4,2), (8,4),(-16,-8),…} =½ se identifica con el numero entero 2; y la clase [(-4,1),(-8,2),(16,-4)4),...]=-¼ se identifica con -4.
La clase 1/1, de representante canónico (1,1), contiene todos los pares (x, x) en lo que los dos elementos son iguales y se identifican con la unidad. Por su parte la clase 0/1, de representante canónico (0,1) contiene todos los pares de la forma (0, x) y se identifica con el numero 0.

Expresión Decimal
De una Fracción

A veces, en la práctica no resulta cómodo ni claro el uso de los números racionales. Para evitar estas dificultades expresamos las fracciones en forma de números decimales.
Para convertir una fracción en un numero decimal se divide el numerador entre el denominador hasta que el resto se anule o hasta que en el cociente se repita indefinidamente una cifra o un grupo de cifras. En el primer caso la fracción es decimal y el número decimal obtenido es limitado. El segundo caso la fracción no es decimal y el numero decimal obtenido es periódico. La cifra o grupo de cifras que se repiten indefinidamente en el mismo orden se denomina periodo. Los números decimales periódicos se representan con el símbolo «¬¬» que abarca todo el periodo. Los números decimales periódicos cuyo periodo empieza detrás de la coma se denominan números decimales periódicos puros .así, 0, ´3 es un numero decimal periódico puro.
Los números decimales periódicos cuyo periodo empieza después de una serie de números que no se repiten reciben el nombre de números decimales periódicos mixtos. Así, 0,123 es un numero decimal periódico mixto. La parte no periódica de un numero decimal periódico mixto es la cifra o grupo de cifras que se encuentran entre la coma y el periodo. Así, la parte no periódica de 0,123 es 12 al convertir fracciones en números decimales solo pueden obtenerse números decimales no limitados que sean periódicos. Es decir, no exist5e ninguna fracción que al convertirla en número decimal origine, por ejemplo, el número π=3,14159265… o el numero E=2,7182818285… estos números tales como π o E, reciben el nombre de irracionales, ya que no existe ninguna fracción que los represente. Se denominan fracciones decimales las que tienen como denominador la unidad seguida de ceros. Así, por ejemplo, 3/10 y 73/100 son fracciones decimales. Toda fracción decimal equivale a un numero con un numero limitado de cifrasen los ejemplos anteriores tenemos que 3/10 = 0,3 y 73/100 = 0,73. El número que aparece en la izquierda de la coma representa la parte entera, mientras que la parte decimal viene representada por el número que aparece a la derecha de la misma. Hay fracciones que no aparecen decimales pero que son equivalentes a otras que si lo son. Así, las fracciones 3/5 y 9/20 son fracciones decimales, aunque no lo parezca a simple vista, ya que 3/5 es equivalente a 60/100 mientras que 9/20 es equivalente a 45/100, que son fracciones decimales típicas.
Para saber si una fracción es decimal deberemos descomponer su denominador en factores primos. Si al hacer esta descomposición obtenemos potencia de 2 o de 5, será una fracción décima; si nos aparecen potencias de cualquier otro numero primo, la fracción será no decimal y dará un lugar a un número periódico

Calculo de la Fracción Generatriz de
Un Numero Decimal

Se denomina fracción generatriz de un número decimal a la fracción irreducible que equivale al mismo. Para calcular la fracción generatriz de un número decimal limitado se pone como numerador el número decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. A continuación se simplifica la fracción obtenida hasta convertirla en irreducible.


Suma y Resta de
Números Decimales

La suma o resta de números decimales tiene como resultado otro numero decimal, y el procedimiento para realizarla coincide con el empleado en el caso de los números enteros, por lo que al realizar la operación se ha detener la precaución de hacer concordar en la misma columna aquellas cifras cuyo valor relativo coincide, tanto en la parte entera como en la parte decimal del numero.
Se puede diferenciar ligeramente el caso de sumas o restas de decimales limitados, de decimales periódicos y el de decimales limitados con el de periódicos:
· Sumas o restas entre números decimales limitados: Como resultado se obtiene siempre en decimal limitado un número entero. En el ejemplo, la suma de tres decimales finitos, 5,71483 + 342,2712 + 0,043 = 348,02903 da como resultado otro decimal finito.
5,71483
+ 342,2712
0,043
348,02903

· Sumas o restas entre números periódicos: para sumar decimales periódicos es convenientes hallar sus fracciones generatrices, hallando posteriormente el número decimal que representan. Si se suman o restan en forma de número decimal, es conveniente repetir varias veces el periodo de los números que intervienen en la operación, para hallar con mas precisión cual será el periodo del resultado de la suma. Como resultado siempre da un decimal periódico o un número entero. En el ejemplo, la suma de los tres decimales periódico 2,26 + 13,153 + 0,43121 = 15,84737282 da como resultado otro decimal periódico.

2,262626262626262626…
+ 13,153535353535353535…
0,431211211211211211…
15,847372827372827372…

· Sumas o restas entre números decimales limitados y números decimales periódicos: este caso es similar al anterior y la única diferencia en que como resultado siempre se obtienen decimal es periódico en el ejemplo, de la suma del decimal periódico 1,153 más de lo decimal limitado 12,1213, da como resultado 13,2744531, un decimal periódico.


1,153153153153…
+ 12,1213
13,274453153153…


Multiplicación
De Números Decimales.

El producto de los números decimal. La operación se realiza exactamente igual que si se tratara de números enteros, sin tener en cuenta la existencia de la parte decimal hasta el final, en que al resultado se le ha de poner la coma, de forma que tenga tantos decimales como tenía el multiplicado y el multiplicador juntos. Como ejemplo, el producto de 1,12 x 5,613 = 6,28656, donde el multiplicando y el multiplicador tres, y el resultado ha de tener cinco decimales.

División
De Números Decimales

Antes de efectuar la división de números decimales como si se tratara de números enteros, se han de eliminar los decimales de divisor; para ello, en el dividendo se hace correr hacia la derecha la posición de la coma tantos lugares como decimales tenía el divisor, añadiendo ceros si es necesario. Al efectuar la división, la coma nos aparecerá en el cociente en el momento en que nos parezca en el dividendo o cuando en el se terminen las cifras enteras, según el caso.
Como resultado se puede obtener un número entero o un decimal limitado o periódico.






El Número Racional

Cada uno de los conjuntos por todas las fracciones equivalentes entre si forma una clase de equivalencias que recibe le nombre de número racional.
Como un número racional esta formado por un conjunto de fracciones equivalentes, llamaremos representante canónico a la fracción irreducible de denominador positivo.



Ordenación En Los
Números Racionales

Para ordenar dos o más números racionales utilizaremos los siguientes criterios según los casos que se nos presenten:
· Cuando tienen el mismo denominador: Que a su vez nos presenta dos casos: si se trata de números positivos, es mayor el que tiene el numerador mas grande, como en el siguiente ejemplo:
7 5
12 12
Si se trata de números negativos, es mayor el que tiene el numerador más pequeño, como en el siguiente ejemplo:
7 5
12 12
· Cuando tienen distintos denominador: En primer lugar se buscan los representantes de los números racionales que se han de comparar que tienen el mismo denominador (se reducen a común denominador) y a continuación se utilizan los criterios dados en el primer apartado.
Otras forma sencilla de ordenarlos números racionales consiste en hallar los números decimales equivalentes a esos racionales y compararlos.





Representación Gráfica
De Los Números Racionales

Si tomamos la recta real en la que se han representado los números racionales que tiene por representante canónico un numero entre, veremos que entre estos puntos quedan grandes espacios vacíos, algunos de los cuales están ocupados por puntos que representan números racionales.
Cuando queremos representar números racionales cualesquiera, se ha de trabaja sobre el representante canónico de estos, y se nos plantean dos casos:
· El denominador es mayor que el numerador: el puntote la recta real que representa a ese tipo de fracciones siempre esta entre el 0 y el 1 (o entre el 0y el -1 si es negativa). Para realizarlos se divide la unidad entre tantas partes como indica el denominador y se toma tantas como indica el numerador.
· El numerador es mayor que el denominador :primero se descompone el numero fraccionario en un numero compuesto por una parte entera y una fraccionaria, separando el numerador en dos sumandos, uno el mayor múltiplo del denominador posible y el otro la diferencia hasta el numerador.
Se divide el primero de los sumados por el denominador, con lo que se obtiene la parte entera del número. La parte entera nos indica a partir de que unidad nos hemos de hacer la representación, y la parte fraccionaria se trata igual que el primer caso sólo que la unidad señalada.

Suma de fracciones
El resultado de cualquier operación con números racionales es independiente de los representantes elegidos. Para facilitar el cálculo se suele escoger el representante canónico.
La suma de números racionales presenta dos casos, dependiendo de que los números que se sumen tengan igual o distinto denominador:
a) Para sumar números racionales que tengan igual denominador se suman los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
b) Para sumar números racionales que tengan distintos denominador se reduce a común denominador y a continuación se procede como en el caso interior.

La suma de números racionales es una operación interna y verifica las propiedades asociativas, conmutativas, elemento neutro y elemento simétrico. Por consiguiente, el conjunto Q de los números racionales con la operación suma tiene estructura del grupo conmutativo o abeliano.

Restas de Fracciones
La resta de números racionales es un caso particular de la suma, ya que restar dos números racionales no es más que sumar que el primero de ellos el opuesto del otro. Para restar fracciones cabe considerar:
a) Para restar fracciones que tengan igual denominador se restan denominadores y se mantienen inalterados el denominador
b) Para restar fracciones que tengan distinto denominador se reducen previamente a común denominador y a continuación se procede con el paso interior.
Producto de Fracciones

El resultado del producto de dos o más números racionales es otro número racional que tiene por numerador el producto de todos los numeradores y como denominador el producto de todos los denominadores.
Se intervienen números racionales negativos, el signo.
El producto de números raciales es una operación interna y cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento simétrico. Por lo tanto, el conjunto Q de los números racionales exceptuando el cero con la operación producto posee una estructura de grupo conmutativo o abeliano.
También se verifica propiedad distributiva del producto respecto a la suma. por consiguiente, el conjunto Q de los números racionales tiene una estructura de cuerpo conmutativo o abeliano con las operaciones sumas y productos.

División de Fracciones

Para dividir dos números racionales basta con multiplicar el primero por el inverso del segundo. O sea, la división es un caso particular de la multiplicación de números racionales. Es decir: (a/b:c/d)=a/b.d/c=ad/bc

La división de números racionales es posible siempre que el divisor sea distinto de cero. Para dividir números enteros y fracciones se le pone como denominador la unidad al número entero y se efectúa la división del modo indicado

Operaciones combinadas con números racionales
Los criterios para resolver operaciones combinadas de números racionales son, en principio, las mismas que los que se emplearon en el caso de números enteros, con la salvedad, que en expresiones como la que se resolverá como ejemplo practica de este tipo de cálculos, la línea de fracción que separa el numerador del denominador actúa como si de un paréntesis se tratara y, por tanto, será preciso resolver por separado ambos.











CONCLUSIÓN

Para concluir con este trabajo de los números racionales podemos decir que una sustracción en (N) tiene limitaciones, y se creo otro tipo de números para poder efectuar cualquier sustracción, los números enteros pero con los enteros también hay limitaciones respecto a la división por lo tanto se crea otro tipo de números (los racionales) para que la visión siempre sea visible.





















Bibliografía
Algebra Moderna Elemental.-Eugene D. nichols
Enciclopedia temática estudiantil. Océano
Gran Enciclopedia temática liber
Matemáticas para el nuevo siglo.- Claudio Fernández

1 comentario:

Liliana dijo...

considero que al hablar de números debería hacerse la distinción entre expresión decimal, y número decimal. En el siguiente sentido : todo número decimal, es una expresión decimal, pero no toda expresión decimal corresponde a dicho tipo de número.
(o.3) número decimal
0.3333333333, expresión decimal
El artículo es muy bueno